Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+（1-x）=1，f（5x）=2f（x），且當(dāng)0≤x₁≤x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），則f（

3

4

）等于（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  1

  8

• D、

  1

  16

Answer 1

分析：先求出f（1），然后根據(jù)條件求出f（

1

5

）與f（

4

5

），最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及兩邊夾的性質(zhì)可求出所求．

解答：解：令x=0得f（0）+（1-0）=1即f（1）=1
令x=

1

5

代入f（5x）=2f（x）得f（1）=2f（

1

5

）=1
∴f（

1

5

）=

1

2

令x=

1

5

得f（

1

5

）+（1-

1

5

）=1，解得f（

4

5

）=

1

2

∵當(dāng)0≤x₁≤x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增
∵

1

5

＜

3

4

＜

4

5

∴

1

2

=f（

1

5

）≤f（

3

4

）≤f（

4

5

）=

1

2

∴f（

3

4

）=

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．