Question

函數(shù)f(x)=

x2+a

bx-c

(b=2n，n∈N*)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，圖象過(guò)原點(diǎn)，且f(-2)＜-

1

2

．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）已知各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，滿足4Snf(

1

an

)=1，求證：-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=

x2+a

bx-c

(b=2n，n∈N*)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，圖象過(guò)原點(diǎn)，可得a=0，b=c，結(jié)合f(-2)＜-

1

2

，可求函數(shù)的解析式，求導(dǎo)函數(shù)，可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）由已知可得2Sn=an-an2，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=an-1-an-12，兩式相減，可求數(shù)列的通項(xiàng)，于是，待證不等式即為

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．為此，我們考慮證明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0．

解答：（1）解：∵函數(shù)f(x)=

x2+a

bx-c

(b=2n，n∈N*)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，圖象過(guò)原點(diǎn)
∴a=0，b=c
∵f(-2)=-

4

3b

＜-

1

2

，b=2n，n∈N^*，∴b=2
∴f(x)=

x2

2x-2

（x≠1），∴f′(x)=

x2-2x

2(x-1)2

令f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（1，2）
（2）證明：由已知可得2Sn=an-an2，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=an-1-an-12
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n-a_n-1=-1（各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)）
當(dāng)n=1時(shí)，2a1=a1-a12⇒a1=-1，∴a_n=-n…8
于是，待證不等式即為

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．
為此，我們考慮證明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0…10
令1+

1

x

=t，x＞0，則t＞1，x=

1

t-1

再令g（t）=t-1-lnt，g′(t)=1-

1

t

由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g（t）單調(diào)遞增
∴g（t）＞g（1）=0，∴t-1＞lnt
即

1

x

＞ln

x+1

x

，x＞0①…12
令h(t)=lnt-1+

1

t

，h′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0，∴當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，h（t）單調(diào)遞增
∴h（t）＞h（1）=0，于是lnt＞1-

1

t

，即ln

x+1

x

＞

1

x+1

，x＞0②…14
由①、②可知

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0
所以，

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，即1-

1

an

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

…16

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，同時(shí)考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．