(本小題滿分13分)如圖,在直三棱柱ABC—
中,
AB = 1,
;點D、E分別在
上,且
,四棱錐
與直三棱柱的體積之比為3:5。
(1)求異面直線DE與
的距離;(8分)
(2)若BC =
,求二面角
的平面角的正切值。(5分)
(1)
(2)
解法一:(Ⅰ)因
,且
,故
面
,
從而
,又
,故
是異面直線
與
的公垂線.
設(shè)
的長度為
,則四棱椎
的體積
為
.
而直三棱柱
的體積
為
.
由已知條件
,故
,解之得
.
從而
.
在直角三角形
中,
,
又因
,
故
.
(Ⅱ)如圖,過
作
,垂足為
,連接
,因
,
,故
面
.
由三垂線定理知
,故
為所求二面角的平面角.
在直角
中,
,
又因
,
故
,所以
.
解法二:
(Ⅰ)如圖,以
點為坐標(biāo)原點
建立空間直角坐標(biāo)系
,則
,
,
,
,則
,
.
設(shè)
,則
,
又設(shè)
,則
,
從而
,即
.
又
,所以
是異面直線
與
的公垂線.
下面求點
的坐標(biāo).
設(shè)
,則
.
因四棱錐
的體積
為
.
而直三棱柱
的體積
為
.
由已知條件
,故
,解得
,即
.
從而
,
,
.
接下來再求點
的坐標(biāo).
由
,有
,即
(1)
又由
得
. (2)
聯(lián)立(1),(2),解得
,
,即
,得
.
故
.
(Ⅱ)由已知
,則
,從而
,過
作
,
垂足為
,連接
,
設(shè)
,則
,因為
,故
……………………………………①
因
且
得
,即
……………………………………②
聯(lián)立①②解得
,
,即
.
則
,
.
.
又
,故
,
因此
為所求二面角的平面角.又
,從而
,
故
,
為直角三角形,所以
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)
在立體圖形P-ABCD中,底面ABCD是一個直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,
AB=BC=a,AD=PA=2a,E是
邊的中點,且PA⊥底面ABCD。
(1)求證:BE⊥PD
(2)求證:
(3)求異面直線AE與CD所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
右圖是一個直三棱柱(以
A1B1C1為底面)被一平面所截得到
的幾何體,截面為
ABC.已知
A1B1=
B1C1=l,∠
AlBlC1=90°,
AAl=4,
BBl=2,
CCl=3.
(1)設(shè)點
O是
AB的中點,證明:
OC∥平面
A1B1C1;
(2)求二面角
B—
AC—
A1的大。
(3)求此幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
下列命題正確的個數(shù)是( )
①若直線
上有無數(shù)個點不在平面
內(nèi),
‖②若直線
與平面
平行,則
與平面
內(nèi)的任意一條直線平行
③直線
在平面
外,記為
‖
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
在正四面體
中,
分別是
的中點,下面四個結(jié)論中不成立的是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
在空間四邊形
中,點
分別為
、
、
、
的中點,若
且
,則四邊形
的具體形狀為___________
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
正三棱錐
的底面邊長為
,側(cè)棱長為
,那么經(jīng)過底邊
的中點且平行于側(cè)棱
的截面面積為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知直線
、
,平面
、
,給出下列命題:
①若
,且
,則
②若
,且
,則
③若
,且
,則
④若
,且
,則
其中正確的命題是
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