Question

矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B在直線l：2x+y-4=0上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C，D曲線E：y²=4（x+4）（-4≤x≤4）上運(yùn)動(dòng)，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：由題意可知曲線是拋物線的一段，聯(lián)立直線l：2x+y-4=0與拋物線y²=4（x+4）可求直線與拋物線的交點(diǎn)，結(jié)合-4≤x≤4，點(diǎn)（5，-6）不是直線l與曲線E的交點(diǎn)．則可知C、D只能在直線的左側(cè)．，設(shè)直線CD的方程為：2x+y-b=0，由CD在直線l的左側(cè)知：過點(diǎn)可得，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得設(shè)C、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，則由方程的根與系數(shù)關(guān)系及弦長(zhǎng)公式可求CD，結(jié)合，則可得矩形ABCD的面積S=|CD|•|BC|=
（法一）利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷函數(shù)y=S²=（2b+17）（4-b）²=2b³+b²-104b+272的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最大值
（法二）S=|CD|•|BC|=，利用基本不等式可求函數(shù)的最大值
解答：解：（法一）由題意可知曲線是拋物線的一段，聯(lián)立直線l：2x+y-4=0與拋物線y²=4（x+4）
可得，解得或
因?yàn)?4≤x≤4，所以（5，-6）不是直線l與曲線E的交點(diǎn)．故C、D只能在直線的左側(cè)．
設(shè)直線CD的方程為：2x+y-b=0，其中b為截距，由CD在直線l的左側(cè)知：過點(diǎn)時(shí)，b取最大值，得，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，
由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得-----------（5分）．
設(shè)C、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，則，
∴，又-----------（8分），
從而矩形ABCD的面積S=|CD|•|BC|=--（10分）．
令y=S²=（2b+17）（4-b）²=2b³+b²-104b+272，
y′=6b²+2b-104=（b-4）（6b+26），
當(dāng)時(shí)，y′＞0，函數(shù)y=2b³+b²-104b+272，在（-）上單調(diào)遞增
時(shí)，y′＜0，函數(shù)y=2b³+b²-104b+272，在上單調(diào)遞減
所以，時(shí)，S取極大值，也是最大值，
矩形ABCD的面積的最大值為-----------（15分）．
（法二）由題意可知曲線是拋物線的一段，聯(lián)立直線l：2x+y-4=0與拋物線y²=4（x+4）
可得，解得或
因?yàn)?4≤x≤4，所以（5，-6）不是直線l與曲線E的交點(diǎn)．故C、D只能在直線的左側(cè)．
設(shè)直線CD的方程為：2x+y-b=0，其中b為截距，由CD在直線l的左側(cè)知：過點(diǎn)時(shí)，b取最大值，得，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，
由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得-----------（5分）．
設(shè)C、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，則，
∴，又-----------（8分），
從而矩形ABCD的面積S=|CD|•|BC|=--（10分）．
∵（2b+17）+（4-b）+（4-b）=25
∴S====
當(dāng)且僅當(dāng)2b+17=4-b時(shí)，即時(shí)取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，及利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷函數(shù)的 單調(diào)性，求解函數(shù)的最值及利用基本不等式求解函數(shù)的最值，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．