Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=4a_n-9n，n=1，2，3，…．計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析：利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，可得a₂，a₃，a₄的值，猜想通項(xiàng)，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：解：根據(jù)已知，a₂=7，a₃=10，a₄=13．…（3分）
猜想a_n=3n+1．…（5分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由已知，左邊=4，右邊=3×1+1=4，猜想成立．…（6分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)猜想成立，即a_k=3k+1，…（7分）
則n=k+1時(shí)，a_k+1=4a_k-9k=4（3k+1）-9k=3k+4=3（k+1）+1，
所以 當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．…（12分）
根據(jù) ①和 ②，可知猜想對(duì)于任何n∈N^*都成立．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．