將正數(shù)數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成數(shù)表,如圖所示.記表中各行的第一個(gè)數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成數(shù)列為{bn},各行的最后一個(gè)數(shù)a1,a3,a6,a10,…構(gòu)成數(shù)列為{cn},第n行所有數(shù)的和為sn(n=1,2,3,4,…).已知數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列,從第二行起,每一行中的數(shù)按照從左到右的順序每一個(gè)數(shù)與它前面一個(gè)數(shù)的比是常數(shù)q,且a1=a13=1,a31=
53

(1)求數(shù)列{cn},{sn}的通項(xiàng)公式.
(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式.
分析:(1)利用表中各行的第一個(gè)數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成數(shù)列為{bn},可得bn=dn-d+1,前n行共有1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
個(gè)數(shù),再結(jié)合a1=a13=1,a31=
5
3
,可求數(shù)列{bn},{cn},{sn}的通項(xiàng)公式;
(2)根據(jù)數(shù)列{cn}的通項(xiàng)特點(diǎn),利用錯(cuò)位相減法,可求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式.
解答:解:(1)∵表中各行的第一個(gè)數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成數(shù)列為{bn},
∴bn=dn-d+1,前n行共有1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
個(gè)數(shù),
因?yàn)?span id="ibs1iqk" class="MathJye">13=
4×5
2
+3,所以a13=b5×q2,即(4d+1)q2=1
又因?yàn)?span id="dwd86uv" class="MathJye">31=
7×8
2
+3,所以a31=b8×q2,即(7d+1)q2=
5
3
,
解得:d=2,q=
1
3
,…(4分)
所以:bn=2n-1,
∵各行的最后一個(gè)數(shù)a1,a3,a6,a10,…構(gòu)成數(shù)列為{cn},
cn=bn(
1
3
)n-1=
2n-1
3n-1
,
∵第n行所有數(shù)的和為sn,
Sn=
(2n-1)(1-
1
3n
)
1-
1
3
=
3
2
(2n-1)•
3n-1
3n
.…(7分)
(2)∵cn=bn(
1
3
)n-1=
2n-1
3n-1

Tn=
1
1
+
3
3
+
5
32
+…+
2n-1
3n-1
,…①…(8分)
1
3
Tn=
1
3
+
3
32
+
5
33
+…+
2n-1
3n
…②…(9分)
①②兩式相減得:
2
3
Tn=1+2(
1
3
+
1
32
+…+
1
3n-1
)-
2n-1
3n

=1+2×
1
3
-
1
3n
1-
1
3
-
2n-1
3n
=2-
2n+2
3n
…(13分)
所以:Tn=3-
n+1
3n-1
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)陣與數(shù)列的額連續(xù),考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用,針對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn),選擇正確的方法是關(guān)鍵.
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2bn
bnSn-
S
2
n
=1(n≥2)

(Ⅰ)證明數(shù)列{
1
Sn
}
成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)上表中,若從第三行起,第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為同一個(gè)正數(shù).當(dāng)a81=-
4
91
時(shí),求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和.

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