Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+a，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）≥x-2對任意x＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把不等式化簡為x-a）（x-1）＜0，再進(jìn)行分類討論：a＞1；a=1；a＜1，可求不等式的解集；
（2）不等式f（x）≥x-2對任意x＞1恒成立，即x²-（a+1）x+a≥x-2對任意x＞1恒成立，將參數(shù)a分離出來，即x²-2x+2≥a（x-1），由于x＞1，所以a≤

x2-2x+2

x-1

，利用基本不等式可求

x2-2x+2

x-1

）的最小值為2，從而可求a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，（x-a）（x-1）＜0
①當(dāng)a＞1時，不等式的解集為{x|1＜x＜a}
②當(dāng)a=1時，不等式的解集為∅
③當(dāng)a＜1時，不等式的解集為{x|a＜x＜1}
（2）不等式f（x）≥x-2對任意x＞1恒成立，即x²-（a+1）x+a≥x-2對任意x＞1恒成立
將參數(shù)a分離出來，即x²-2x+2≥a（x-1）
由于x＞1，所以a≤

x2-2x+2

x-1

∵x＞1，∴

x2-2x+2

x-1

=(x-1)+

1

x-1

≥2
所以

x2-2x+2

x-1

）的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，取得最小值．
所以a≤2

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查一元二次不等式的解法，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是正確分類，利用分離參數(shù)法求解恒成立問題．