精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

給定橢圓．稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

(1) ； (2) 垂直．

解析試題分析：（1）由“橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為”知：從而可得橢圓的標準方程和“準圓”的方程；
（2）分兩種情況討論：①當中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．
對于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；
對于②設經過準圓上點與橢圓只有一個公共點的直線為
與橢圓方程聯立組成方程組消去得到關于的方程：
由化簡整理得：
而直線的斜率正是方程的兩個根，從而
（1）
橢圓方程為
準圓方程為
（2）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，
因為與橢圓只有一個共公點，則其方程為
當方程為時，此時與準圓交于點
此時經過點（或）且與橢圓只有一個公共瞇的直線是（或）
即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線也垂直．
②當都有斜率時，設點其中
設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為
則由消去，得

由化簡整理得：
因為，所以有
設的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點
所以滿足上述方程

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（2013•湖北）如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標原點O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m，2n（m＞n），過原點且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D，記，△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2．
（1）當直線l與y軸重合時，若S1=λS2，求λ的值；
（2）當λ變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1=λS2？并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）是否存在與橢圓交于兩點的直線：，使得成立？若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定橢圓．稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知動點到點的距離為，到軸的距離為，且．
（1）求點的軌跡的方程；
（2） 若直線斜率為1且過點，其與軌跡交于點，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點的橢圓C: 的一個焦點為為橢圓C上一點，△MOF2的面積為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OM的直線l，使得l與橢圓C相交于A、B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓的中心和拋物線的頂點均為原點，、的焦點均在軸上，過的焦點F作直線，與交于A、B兩點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：


（1）求，的標準方程；
（2）若與交于C、D兩點，為的左焦點，求的最小值；
（3）點是上的兩點，且，求證：為定值；反之，當為此定值時，是否成立？請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點在拋物線上，直線（，且）與拋物線，相交于、兩點，直線、分別交直線于點、.
（1）求的值；
（2）若，求直線的方程；
（3）試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案