Question

四棱錐O-ABCD中，OB⊥底面ABCD，且，底面ABCD是菱形；點(diǎn)B在平面OAD內(nèi)的射影G恰為△OAD的重心．
①求OA的長；
②求二面角B-OC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：①由題意及所給的圖形抓住底面ABCD是菱形，菱形的對角線互相垂直及題中所給的線面垂直和線段長度，可以建立空間直角坐標(biāo)系，寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，利進(jìn)向量的知識及設(shè)BH=x，AH=y，建立x，y的方程而求解；
②有①的求證利用向量求出兩半平面的法向量，利用兩法向量的夾角與所求的二面角的大小之間的關(guān)系進(jìn)行求解．．
解答：解：①由題意及題中的條件可以畫出以下圖形，并利用題中條件建立圖示的空間坐標(biāo)系：

設(shè)BH=x，AH=y和題中OB=，有圖可得圖中的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：H（0，0，0） D（x，0，0） B（-x，0，0） A（0，y，0） C（0，-y，0） O（-x，0，） M（0，0，）
所以利用G為三角形的重心可以得：G（0，），，，，利用BG⊥平面OAD建立方程為：
⇒⇒所以有圖知AD=2，在直角三角形OBA中：OA=，故OA=；
②有①建立的空間坐標(biāo)系可知：

=     
 =
=
設(shè)平面OBC的法向量為  則⇒
設(shè)平面OCD的法向量為 則⇒
所以，
由法向量的夾角與二面角的夾角之間的關(guān)系知道：二面角B-OC-D的平面角的余弦值為．
故答案為：，所求的二面角的平面角的余弦值為．
點(diǎn)評：①此問重點(diǎn)考查了利用圖形特點(diǎn)及已知的條件恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，還考查了準(zhǔn)確利用條件寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的思想解除OA的長度；
②此問在上一問的基礎(chǔ)上，利用空間向量的夾角與二面角之間的關(guān)系準(zhǔn)確求解．