Question

函數(shù)f（x）=lg（x²-2ax+1+a）在區(qū)間（-∞，1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：復合函數(shù)f（x）=lg（x²-2ax+1+a）中，對數(shù)函數(shù)y=lgx為單調(diào)遞增，在區(qū)間（-∞，1]上，a的取值需令真數(shù)x²-2ax+1+a＞0，且函數(shù)u=x²-2ax+1+a在區(qū)間（-∞，1]上應(yīng)單調(diào)遞減，這樣復合函數(shù)才能單調(diào)遞減．
解答：解：令u=x²-2ax+1+a，則f（u）=lgu，
  配方得u=x²-2ax+1+a=（x-a）² -a²+a+1，故對稱軸為x=a
   如圖所示：
  由圖象可知當對稱軸a≥1時，u=x²-2ax+1+a在區(qū)間（-∞，1]上單調(diào)遞減，
  又真數(shù)x²-2ax+1+a＞0，二次函數(shù)u=x²-2ax+1+a在（-∞，1]上單調(diào)遞減，故只需當x=1時，若x²-2ax+1+a＞0，則x∈（-∞，1]時，真數(shù)x²-2ax+1+a＞0，
 代入x=1解得a＜2，所以a的取值范圍是[1，2）
  故答案為：[1，2）
點評：y=f[g（x）]型函數(shù)可以看作由兩個函數(shù)y=f（u）和u=g（x）復合而成，一般稱其為復合函數(shù)．其中y=f（u）為外層函數(shù)，u=g（x）為內(nèi)層函數(shù)．若內(nèi)、外層函數(shù)的增減性相同，則復合函數(shù)為增函數(shù)；若內(nèi)、外層函數(shù)的增減性相反，則復合函數(shù)為減函數(shù)．即復合函數(shù)單調(diào)性遵從同增異減的原則．