Question

（2012•淮南二模）已知雙曲線

x2

a2

-

y

b2

2=1（a＞0，b＞0）一條漸近線與直線

3

x-y+2=0平行，離心率為e，則

a2+e

b

的最小值為（　　）

• A．

  6

• B．

  4 6

  3

• C．

  2 6

  3

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線一條漸近線與直線

3

x-y+2=0平行，得b=

3

a，從而得出離心率e=

c

a

=2．代入式子

a2+e

b

，化簡(jiǎn)為關(guān)于a的表達(dá)式，再結(jié)合基本不等式，即可得到要求的最小值．

解答：解：∵雙曲線

x2

a2

-

y

b2

2=1漸近線方程為y=±

b

a

x，且一條漸近線與直線

3

x-y+2=0平行，
∴

b

a

=

3

，得b=

3

a
因此c=

a2+ b2

=2a，離心率e=

c

a

=2
∴

a2+e

b

=

a2+2

3 a

=

3

3

a+

2 3

3a

∵a＞0，得

3

3

a+

2 3

3a

≥2

3 3 a× 2 3 3a

=

2 6

3

∴當(dāng)且僅當(dāng)

3

3

a=

2 3

3a

=

6

3

時(shí)，即a=

2

時(shí)，

a2+e

b

的最小值為

2 6

3

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題在雙曲線中，求關(guān)于a、b、e的式子的最小值，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．