Question

如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，PC⊥面ABC，直線AM與直線PC所成的角為60°，求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量即可得到異面直線所成的角，求出點P的坐標(biāo)，再利用兩個平面的法向量即可得出二面角．

解答：解：在平面ABC內(nèi)，過C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz（如圖）
由題意有A（

3

2

，-

1

2

，0），設(shè)P（0，0，z₀），（z₀＞0），
則M（0，1，z₀），

AM

=(-

3

2

，

3

2

，z0)，

CP

=(0，0，z0)，
由直線AM與直線PC所成的角為60°，得

AM

•

CP

=|

AM

|•|

CP

|•cos60°，
即

z

2 0

=

1

2

z 2 0 +3

•z0，解得z₀=1，
∴

CM

=（0，1，1），

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，
設(shè)平面MAC的一個法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
則

n • CM =0 n • CA =0

，即

y1+z1=0 3 2 x1- 1 2 y1=0

，取x₁=1，得

n

=（1，

3

，-

3

）．          
平面ABC的法向量為

CP

，∴cos＜

CP

，

n

＞=

CP • n

|CP| |n|

=

- 3

7

=-

21

7

，
又∵二面角M-AC-B為銳角，∴二面角M-AC-B的平面角余弦值為

21

7

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用異面直線的方向向量得到異面直線所成的角、利用兩個平面的法向量求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．