Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若k=2010，關(guān)于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•

2a

x

．
當k是奇數(shù)時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當k是偶數(shù)時，則f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

．
所以當x∈(0，

a

)時，f′（x）＜0，
當x∈（

a

，+∞）時，f′（x）＞0．
故當k是偶數(shù)時，f（x）在(0，

a

)上是減函數(shù)，
在（

a

，+∞）上是增函數(shù)．
（2）若k=2010，則f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）．
記g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax，
g′(x)=2x-

2a

x

-2a=

2

x

(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g'（x）=0，得x²-ax-a=0．因為a＞0，x＞0，
所以x 1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），
x 2=

a+ a2+4a

2

．
當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當x=x₂時，g'（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax 2-a=0

兩式相減得alnx₂+ax₂-a=0，因為a＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）．
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
因為在x＞0時，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，從而解得a=

1

2

．