Question

已知數(shù)列a_n的各項都為正數(shù)，a₁=1，前n項和S_n滿足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求數(shù)列a_n的通項公式；
（Ⅱ）令bn=

1

anan+1

（n∈N^*），數(shù)列b_n的前n項和為T_n，若a_n+1≥λT_n對任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）有數(shù)列a_n的前n項和S_n滿足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）⇒

Sn

-

Sn-1

=1，先求出S_n，在求出數(shù)列a_n的通項公式；
（II）有（I）得到a_n又有bn=

1

anan+1

（n∈N^*），得到數(shù)列b_n的通項公式，再利用求和方法的其前n項和然后解不等式．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，
∴(

Sn

+

Sn-1

)(

Sn

-

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，
又∵a_n＞0，∴

Sn

+

Sn-1

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2），
∴數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列，首項為

S1

=1，公差為1，
∴

Sn

=1+n-1=n，∴S_n=n²
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又a₁=1，∴數(shù)列a_n的通項公式為a_n=2n-1．
（Ⅱ）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
由a_n+1≥λT_n得2n+1≥λ×

n

2n+1

對任意正整數(shù)n都成立，
∴（2n+1）²≥λn，
∴λ≤

(2n+1)2

n

=

4n2+4n+1

n

=4n+4+

1

n

．
令f(x)=4x+

1

x

(x≥1)，則f′(x)=4-

1

x2

＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上遞增，
∴對任意正整數(shù)n，4n+

1

n

的最小值為5，∴λ≤9．

點評：此題考查了已知數(shù)列a_n的前n項和S_n，求數(shù)列的通項還考查了裂項相消求數(shù)列的和及不等式恒成立．