Question

已知△ABC的兩頂點B（-1，0），C（1，0），周長為6
（1）求頂點A的軌跡L的方程；
（2）若關(guān)于原點對稱的兩點M，N在曲線L上，且已知G（-4，0），求

GM

•

GN

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的周長和定點，得到點A到兩個定點的距離之和等于定值，得到點A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點在y軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點．

解答：解：（1）∵△ABC的兩頂點B（-1，0），C（1，0），周長為6，∴BC=2，AB+AC=4，
∵4＞2，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，所以橢圓的標準方程是

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)
（2）M，N關(guān)于坐標原點對稱，設(shè)M(x1 ，y1)，N(-x1，-y1)，

GM

=(x1+4，y1)，

GN

=（-x₁+4，-y₁）；

GM

•

GN

=-

x

2 1

-

y

2 1

+16
又

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1得

y

2 1

=3-

3

4

x

2 1

，∴

GM

•

GN

=-

1

4

 

x

2 1

+13，

x

2 1

∈[0，4)，∴

GM

•

GN

∈(12，13]．

點評：本題考查橢圓的定義，注意橢圓的定義中要檢驗兩個線段的大小，看能不能構(gòu)成橢圓，本題是一個易錯題，容易忽略掉不合題意的點