Question

函數(shù)f(x)=x2-2kx+k在[0，1]上的最小值為

1

4

，則k等于

1

2

．

Answer 1

分析：由f（x）=x²-2kx+k=（x-k）²+k-k²，對稱軸x=k，①當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值f（0）；②當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，k）單調(diào)遞減，在（k，1]單調(diào)遞增，當(dāng)x=k時(shí)函數(shù)有最小值；③當(dāng)k≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值f（1，結(jié)合已知可求

解答：解：∵f（x）=x²-2kx+k=（x-k）²+k-k²，對稱軸x=k
①當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值f（0）=k=

1

4

，不符合題意
②當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，k）單調(diào)遞減，在（k，1]單調(diào)遞增，當(dāng)x=k時(shí)函數(shù)有最小值k-k2=

1

4

，解可得k=

1

2

，符合題意
③當(dāng)k≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值f（1）=1-k=

1

4

，解可得k=

3

4

不符合題意
綜上可得，k=

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，解決此類問題的關(guān)鍵是確定函數(shù)在所給區(qū)間的單調(diào)性，而當(dāng)單調(diào)性不確定時(shí)，需要分類討論