定義數(shù)列： ，且對(duì)任意正整數(shù)，有.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；

（2）問(wèn)是否存在正整數(shù)，使得？若存在，則求出所有的正整數(shù)對(duì)

；若不存在，則加以證明.

 

【答案】

（1），；

（2）見(jiàn)解析.

【解析】考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，數(shù)列的分組求和等知識(shí)，考查了學(xué)生變形的能力，推理能力，探究問(wèn)題的能力，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識(shí)．

解：（1）對(duì)任意正整數(shù)k，

 ，

.      1分

   所以數(shù)列是首項(xiàng),公差為2等差數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)

,公比為3的等比數(shù)列.    2分

對(duì)任意正整數(shù)k, ,.      3分

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式  4分

對(duì)任意正整數(shù)k,

. 5分

   6分

所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為

. 7分

 (2)  ,

從而,由知m=1,2,3     8分

①當(dāng)時(shí),   9分

②當(dāng)時(shí),    10分     

③當(dāng)時(shí),

      13分     

綜上可知,符合條件的正整數(shù)對(duì)(m,n)只有兩對(duì)：(2,2,)與(3,1) 14分     

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

我們知道，如果定義在某區(qū)間上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)該區(qū)間上的任意兩個(gè)數(shù)x1、x2，總有不等式
f(x1)+f(x2)
2
≤f(
x1+x2
2
)成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為該區(qū)間上的向上凸函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)上凸）．類(lèi)比上述定義，對(duì)于數(shù)列{an}，如果對(duì)任意正整數(shù)n，總有不等式：
an+an+2
2
≤an+1成立，則稱(chēng)數(shù)列{an}為向上凸數(shù)列（簡(jiǎn)稱(chēng)上凸數(shù)列）．現(xiàn)有數(shù)列{an}滿足如下兩個(gè)條件：
（1）數(shù)列{an}為上凸數(shù)列，且a1=1，a10=28；
（2）對(duì)正整數(shù)n（1≤n＜10，n∈N*），都有|an-bn|≤20，其中bn=n2-6n+10．
則數(shù)列{an}中的第五項(xiàng)a5的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

形如
ab
cd
的式子叫做二行二列矩陣，定義矩陣的一種運(yùn)算
ab
cd
 •
x
y
=
ax+bx
cx+dy
．該運(yùn)算的幾何意義為平面上的點(diǎn)（x，y）在矩陣
ab
cd
的作用下變換成點(diǎn)（ax+by，cx+dy）．
（1）設(shè)點(diǎn)M（-2，1）在
01
10
的作用下變換成點(diǎn)M′，求點(diǎn)M′的坐標(biāo)；
（2）設(shè)數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn ，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)A（Sn，n）在
01
10
的作用下變換成的點(diǎn)A′在函數(shù)f（x）=x2+x的圖象上，求an的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)bn為數(shù)列{1-
1
an
}的前n項(xiàng)的積，是否存在實(shí)數(shù)a使得不等式bn
an+1
＜a對(duì)一切n∈N*都成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•深圳二模）定義數(shù)列{an}：a1=1，a2=2，且對(duì)任意正整數(shù)n，有an+2=[2+(-1)n]an+（-1）n+1+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Sn；
（2）問(wèn)是否存在正整數(shù)m，n，使得S2n=mS2n-1？若存在，則求出所有的正整數(shù)對(duì)（m，n）；若不存在，則加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江西省、臨川一中高三12月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(   )

A．           B．           C．            D．

 

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