Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+sin（

π

2

-2x）．求：
（1）f（

π

4

）的值；
（2）f（x）的最小正周期和最小值；
（3）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用誘導公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）將x=

π

4

代入f（x）中計算，即可求出值；
（2）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最小值即可；
（3）由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)的遞增區(qū)間．

解答：解：f（x）=2sinxcosx+sin（

π

2

-2x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
（1）f（

π

4

）=

2

sin（2×

π

4

+

π

4

）=

2

×

2

2

=1；
（2）∵ω=2，∴T=π，
∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴f（x）的最小值為-

2

；
（3）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z），
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．