Question

某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”，每班50人．陳老師采用A、B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn)．為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師甲、乙兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，畫出頻率分布直方圖（如圖）．記成績(jī)不低于90分者為“成績(jī)優(yōu)秀”．
（1）從乙班隨機(jī)抽取2名學(xué)生的成績(jī)，記“成績(jī)優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為：“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	總計(jì)
成績(jī)優(yōu)秀
成績(jī)不優(yōu)秀
總計(jì)

附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P≥（k2≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.323	2.072	2.706	3.814	5.024

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意求出隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2然后根據(jù)題意求出ξ取每一個(gè)值的概率再根據(jù)分布列和期望的定義即可得解．
（2）根據(jù)頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積即為隨機(jī)變量落在此區(qū)間的概率以及概率=

頻數(shù)

總數(shù)

求出“成績(jī)優(yōu)秀”的人數(shù)和“成績(jī)不優(yōu)秀”的人數(shù)然后即可填表，再利用附的公式求出K²的值再與表中的值比較即可得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得“成績(jī)優(yōu)秀”的人數(shù)為4
ξ的所有可能取值為0，1，2
則P（ξ=0）=

C 2 46

C 2 50

=

207

245

，P（ξ=1）=

C 1 46 C 1 4

C 2 50

=

184

1225

，p（ξ=2）=

C 2 4

C 2 50

=

6

1225

故ξ的分布列為
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得，甲班成績(jī)優(yōu)秀、成績(jī)不優(yōu)秀的人數(shù)分別為12，38，乙班成績(jī)優(yōu)秀、成績(jī)不優(yōu)秀的人數(shù)分別為4，46

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可得：
K2=

100×(12×46-4×38)2

16×84×50×50

≈4.762
由于4.762＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為：“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差、及獨(dú)立性性檢驗(yàn)，屬新型的題目，較難．解題的關(guān)鍵是要理解頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積即為隨機(jī)變量落在此區(qū)間的概率同時(shí)要牢記公式概率=

頻數(shù)

總數(shù)

！