Question

如圖，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上一點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)B，C分別在A的正東方20km和54km處．某時(shí)刻，監(jiān)測點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波，8s后監(jiān)測點(diǎn)A，20s后監(jiān)測點(diǎn)C相繼收到這一信號．在當(dāng)時(shí)的氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5km/s．
（1）設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；
（2）求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離（結(jié)果精確到0.01km）．

Answer 1

分析：（1）選擇在兩個(gè)三角形中用余弦定理，利用cos∠PAB=cos∠PAC來建立等式解答；
（2）作PD⊥a，構(gòu)造直角三角形，從而利用解直角三角形的知識解答．

解答：解：（1）依題意，有PA-PB=1.5×8=12（km）．PC-PB=1.5×20=30（km）
∴PB=（x-12）（km），
PC=30+（x-12）=（18+x）（km）．
在△PAB中，AB=20kmcos∠PAB=

PA2+AB2-PB2

2PA•AB

=

x2+202-(x-12)2

2x•20

=

3x+32

5x

同理，在△PAC中，cos∠PAC=

72-x

3x

∵cos∠PAB=cos∠PAC，
∴

3x+32

5x

=

72-x

3x

解之，得x=

132

7

(km)
（2）作PD⊥a，垂足為D
在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=x•

3x+32

5x

=

3× 132 7 +32

5

≈17.71(km)．
答：靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離約為17.71km

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查余弦定理的運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是合理選擇三角形，正確運(yùn)用余弦定理解答．