Question

（本小題15分）

已知橢圓C：，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓G： （是橢圓的焦半距）相離，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓G的兩切線，切點(diǎn)分別為M、N．

（1）若橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)、，求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)為定值時(shí)，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn)E，并求的值（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（3）若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令橢圓，其中，

得，所以，即橢圓為．         ………3分

（2）直線，

設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)為，

所以點(diǎn)所在的圓的方程為，

化簡為，                                  ………5分

與圓作差，即有直線，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，

所以，所以，

得，故定點(diǎn)，   …8分

．                          ………9分

（3）由直線AB與圓G： （是橢圓的焦半距）相離，

則，即，，

得

因?yàn)?sub>， 所以，①              ………11分

連接若存在點(diǎn)使為正三角形，則在中，，

所以，，

，得

因?yàn)?sub>，所以，②                            ………14分

由①②，，

所以．                                     ………15分