Question

點p（x，y）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0上的任意一點，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩個焦點，且∠F₁PF₂≤90°，則該橢圓的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件可知，當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，此時cos∠F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

≥0，∴a≥

2

c，由此能夠推導出該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：由題意可知，當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，
此時cos∠F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

≥0，∴a≥

2

c，
∴e=

c

a

≤

2

2

，又∵0＜e＜1，∴0＜e≤

2

2

．
答案：(0，

2

2

]．

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應用，難度不大，正確解題的關(guān)鍵是知道當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大．同時要注意橢圓離心率的取值范圍是（0，1）．