Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^-x，x∈R，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）對(duì)任意x滿足g（x）=f（4-x），求證：當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＞4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出極值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）e^-x-（3-x）e^4-x，求出其導(dǎo)函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的值來判斷其在（2，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而證得結(jié)論．
（Ⅲ）先由（Ⅰ）得f（x）在（-∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，故x₁、x₂不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；
設(shè)x₁＜2＜x₂，由（Ⅱ）可知f（x₂）＞g（x₂），即f（x₁）＞f（4-x₂）．再結(jié)合單調(diào)性即可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（x-1）e^-x的定義域?yàn)镽，
f′（x）=e^-x-（x-1）e^-x=（2-x）e^-x
令f′（x）=0，即（2-x）e^-x=0，解得：x=2．
列表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

由表可知函數(shù)f（x）=（x-1）e^-x的單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2）．
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）e^-x取得極大值f（2）=e^-2．
（Ⅱ）證明：g（x）=f（4-x）=（3-x）e^4-x，
令F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）e^-x-（3-x）e^4-x，
∴F′（x）=（2-x）e^-x-（2-x）e^4-x=

(2-x)(e4-e2x)

ex+4

．
當(dāng)x＞2時(shí)，2-x＜0，2x＞4，從而e⁴-e^2x＜0，
∴F′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（2，+∞）是增函數(shù)．
∴F（x）＞F（2）=e^-2-e^-2=0，
故當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞g（x）．
（Ⅲ）證明：∵f（x）在（-∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．
∴當(dāng)x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），x₁、x₂不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．
不妨設(shè)x₁＜2＜x₂，由（Ⅱ）可知f（x₂）＞g（x₂），
又g（x₂）=f（4-x₂），∴f（x₂）＞f（4-x₂）．
∵f（x₁）=f（x₂），∴f（x₁）＞f（4-x₂）．
∵x₂＞2，4-x₂＜2，x₁＜2，且f（x）在區(qū)間（-∞，2）內(nèi)為增函數(shù)，
∴x₁＞4-x₂，即x₁+x₂＞4．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，并考查數(shù)學(xué)證明．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識(shí)，也是．教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．