Question

（2012•湛江二模）要制作一個如圖的框架（單位：米），要求所圍成的面積為6米²，其中ABCD是一個矩形，EFCD是一個等腰梯形，EF=3CD，tan∠FED=

3

4

，設(shè)AB=x米，BC=y米．
（1）求y關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）如何設(shè)計(jì)x，y的長度，才能使所用材料最少？

Answer 1

分析：（1）求出梯形的面積，利用所圍成的面積為6米²，即可求出y關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）設(shè)整個框架用料為l米，則l=（2x+y）+3x+2•

5

4

x，利用基本不等式，即可求得所用材料最少．

解答：解：（1）如圖，等腰梯形CDEF中，DH是高，則EH=AB=x，DH=EH•tan∠FED=

3

4

x
∴S=xy+

1

2

(x+3x)×

3

4

x=xy+

3

2

x2=6，
∴y=

6

x

-

3

2

x
∵x＞0，y＞0
∴

6

x

-

3

2

x＞0，∴0＜x＜2
∴y關(guān)于x的表達(dá)式為y=

6

x

-

3

2

x（0＜x＜2）
（2）設(shè)整個框架用料為l米
Rt△DEH中，∵tan∠FED=

3

4

，∴cos∠FED=

4

5

，
∴DE=

5

4

x
∴l(xiāng)=（2x+2y）+3x+2•

5

4

x=

9

2

x+

12

x

≥2

9 2 x× 12 x

=6

6

當(dāng)且僅當(dāng)

9

2

x=

12

x

，即x=

2 6

3

時(shí)取等號
此時(shí)y=

6

x

-

3

2

x=

6

2

∴AB=

2 6

3

米，BC=

6

2

米時(shí)，所用材料最少．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)解析式．