Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面為直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．
（Ⅰ）設(shè)M為PD的中點(diǎn)，求證：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

分析：解法一：（I）取PA的中點(diǎn)N，連接BN、NM，根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合已知條件可證得四邊形BCMN為平行四邊形，CM∥BN，再由線面平行的判定定理得到結(jié)論；
（II）延長(zhǎng)AB、CD交于一點(diǎn)，設(shè)為E，連接PE，由三垂線定理可知∠AFD為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角，解△EAD與Rt△PAE即可求出，側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值．
解法二：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線CM的方向向量與平面PAB的法向量，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，可得到CM∥平面PAB；
（II）分別求出側(cè)面PAB與側(cè)面PCD的法向量，代入向量夾角公式，求出二面角的余弦值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案．

解答：解法一：（Ⅰ）證明：取PA的中點(diǎn)N，連接BN、NM，在△PAD中，MN∥AD，且MN=

1

2

AD=1；
又BC∥AD，且BC=

1

2

AD=1，所以MN

∥ =

BC，即四邊形BCMN為平行四邊形，CM∥BN．
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，故CM∥平面PAB．…（5分）
（Ⅱ）在平面ABCD中，AB與CD不平行，延長(zhǎng)AB、CD交于一點(diǎn)，設(shè)為E，
連接PE，則PE為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的棱，又由題設(shè)可知DA⊥側(cè)面PAB，于是過(guò)A作AF⊥PE于F，
連接DF，由三垂線定理可知∠AFD為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角．…（8分）
在△EAD中，由BC∥AD，BC=

1

2

AD，知B為AE為中點(diǎn)，∴AE=2，
在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴PE=

5

，AF=

2

5

．故tan∠AFD=

2

2 5

=

5

，
即所求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為

5

．…（12分）
解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．…（2分）
（Ⅰ）由M為PD中點(diǎn)知M的坐標(biāo)為（0，1，1），所以

CM

=(-1，0，1)，
又平面PAB的法向量可取為

m

=(0，1，0)，∴

CM

•

m

=0，即

CM

⊥

m

．
又CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)平面PCD的法向量為

n

=(x1，y1，z1)．
∵

PC

=(1，1，-1)， 

PD

=(0，2，-1)，∴

PC • n =x1+y1-z1=0 PD • n =2y1-z1=0.

不妨取z₁=2，則y₁=1，x₁=1．∴

n

=(1，1，2)．
又平面PAB的法向量為

m

=(0，1，0)．
設(shè)側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角大小為θ，
則由

m

，

n

的方向可知cosθ=

m • n

| m || n |

=

1

6

=

6

6

，
∵θ∈（0，π），∴sinθ=

30

6

，tanθ=

5

．
即所求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，比較兩種解法，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)向量法（解法二）更便于理解和解答，要求大家一定熟練掌握．