Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²其中a∈R（R為實數(shù)集）．討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分解因式后，根據(jù)a＞0，a=0和a＜0，分別討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²，a∈R
∴f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a），
①當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，得x＞0，或x＜-

2a

3

，
由f′（x）＜0，得-

2a

3

＜x＜0，
∴f（x）=x³+ax²的增區(qū)間為（-∞，-

2a

3

），（0，+∞），減區(qū)間為（-

2a

3

，0）．
②當(dāng)a=0時，由f′（x）=3x²≥0恒成立，∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，得x＞-

2a

3

，或x＜0，
由f′（x）＜0，得0＜x＜-

2a

3

，
∴f（x）=x³+ax²的增區(qū)間為（-∞，0），（-

2a

3

，+∞），減區(qū)間為（0，

2a

3

）．

點評：此題考查學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是一道基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．