在△ABC中，O為中線AM上一個(gè)動點(diǎn)，若AM=4，則
OA
•(
OB
+
OC
)的最小值是
-8
-8
．
分析：由M為BC的中點(diǎn)可得
OB
+
OC
=2
OM
，故
OA
•(
OB
+
OC
)=
OA
•2
OM
=2|
OA
||
OM
|cosπ，設(shè)|
OA
|=x，由于AM=4，故|
OM
|=4-x，x∈（0，4），可得2|
OA
||
OM
|cosπ=-2x（4-x）=2x2-8x，由二次函數(shù)的最值求法可得結(jié)果．
解答：解：如圖所示：
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)∴
OB
+
OC
=2
OM
，∴
OA
•(
OB
+
OC
)=
OA
•2
OM

=2|
OA
||
OM
|cosπ，設(shè)|
OA
|=x，由于AM=4，故|
OM
|=4-x，x∈（0，4）
故2|
OA
||
OM
|cosπ=-2x（4-x）=2x2-8x，
故當(dāng)x=-
-8
2×2
=2時(shí)，上式取到最小值-8．
故答案為：-8
點(diǎn)評：本題為向量的數(shù)量積的最值的求解，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，O為外心，P是平面內(nèi)點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
+
OC
=
OP
，則P是△ABC的（　�。�
A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，A、B為定點(diǎn)，C為動點(diǎn)，記∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知c=2，且存在常數(shù)λ
（λ＞0），使得abcos2
C2
=λ．
（1）求動點(diǎn)C的軌跡，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線l與（1）中的曲線交于M，N兩點(diǎn)，若OM⊥ON，試確定λ的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•武漢模擬）在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動點(diǎn)，若AM=2，則
OA
•(
OB
+
OC
)的最小值是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，O為平面上一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�

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