如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D為側(cè)棱PC的中點(diǎn),它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.

(1)證明:AD⊥平面PBC.

(2)求三棱錐D-ABC的體積.

(3)在∠ACB的平分線上確定一點(diǎn)Q,使得PQ∥平面ABD,并求此時(shí)PQ的長(zhǎng).

 (1)因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥BC,

又AC⊥BC,PA∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AD.由三視圖可得,在△PAC中,PA=AC=4,且D為PC中點(diǎn),所以AD⊥PC,又BC∩PC=C,

所以AD⊥平面PBC.

(2)由三視圖可得BC=4,

由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面PAC,

又三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積,

所以,所求三棱錐的體積V=××2×2×4=.

(3)取AB的中點(diǎn)O,連接CO并延長(zhǎng)至Q,使得CQ=2CO,點(diǎn)Q即為所求.

連接OD,PQ,AQ,BQ,

因?yàn)镺為CQ中點(diǎn),所以PQ∥OD,

因?yàn)镻Q⊄平面ABD,OD⊂平面ABD,所以PQ∥平面ABD,

四邊形ACBQ的對(duì)角線互相平分,

所以ACBQ為平行四邊形,所以AQ=4,又PA⊥平面ABC,

所以在直角△PAQ中,PQ==4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（
1
2
，x，y），且
1
x
+
a
y
≥8恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí)，tanθ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE‖平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA=PB=PC，∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°，一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
3
，則PA=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，點(diǎn)D，E分別在棱
PB，PC上，且BC∥平面ADE
（I）求證：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí)，求多面體ABCED與PAED的體積比．

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