Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞-1且x≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）值域；
（3）已知＞（x+1）^m對任意x∈（-1，0）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-，
所以當(dāng)f′（x）＞0，即ln（x+1）+1＜0，即ln（x+1）＜-1，所以x+1＜，即-1＜x＜-1，故函數(shù)在區(qū)間（-1，-1）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)f′（x）＜0，即-1＜x＜0或x＞0，所以函數(shù)在區(qū)間（，0）和（0，+∞）內(nèi)單調(diào)減．
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-1，），單調(diào)減區(qū)間為（，0）和（0，+∞）．
（2）由f′（x）=-=0可得x=，
由（1）可得f（x）在（-1，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（，0）內(nèi)單調(diào)減，
所以在區(qū)間（-1，0）上，當(dāng)x=時，f（x）取得極大值即最大值為f（）=-e．
又因為當(dāng)x從-1的右邊靠近-1時，0＜x+1＜1，所以x→-1時f（x）→-∞；當(dāng)x從0的左邊靠近0時，f（x）→-∞；
所以當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）∈（-∞，-e]．
在區(qū)間（0，+∞）上f（x）是減函數(shù)，并且f（x）＞0，
當(dāng)x從0的右邊靠近0時，f（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時，由函數(shù)的解析式可得f（x）→0．
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）∈（0，+∞）．
故f（x）的值域為（-∞，-e]∪（0，+∞）
（3）∵-1＜x＜0，∴0＜x+1＜1，從而1＜，
由題意可得：＞（x+1）^m對任意x∈（-1，0）恒成立，
所以兩邊取自然對數(shù)得：
所以，對x∈（-1，0）恒成立，則m大于的最大值，
由（2）可得當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）=∈（-∞，-e]，
所以取得最大值為-eln2，所以m＞-eln2．
所以實數(shù)m的取值范圍為（-eln2，+∞）．
分析：（1）由題意可得：f′（x）=-，令f′（x）＞0，可得-1＜x＜-1時，故函數(shù)在區(qū)間（-1，）內(nèi)單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，即-1＜x＜0或x＞0，所以函數(shù)在區(qū)間（，0）和（0，+∞）內(nèi)單調(diào)減．
（2）由f′（x）=-=0可得x=，利用函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最大值，再分析當(dāng)x從-1的右邊靠近-1時，f（x）→-∞；當(dāng)x從0的左邊靠近0時，f（x）→-∞；在區(qū)間（0，+∞）上f（x）是增函數(shù)，并且f（x）＞0，當(dāng)x從0的右邊靠近0時，f（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時，可得f（x）→0．
（3）由題意可得對原不等式兩邊取自然對數(shù)得：，所以，對x∈（-1，0）恒成立，進而構(gòu)造出新的函數(shù)求出新函數(shù)的最大值即可解決問題．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)導(dǎo)數(shù)的運算，以及利用得到求函數(shù)的最值與球函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等問題，此類問題一般以解答題的形式出現(xiàn)．