Question

已知、B、C是橢圓M：上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，BC過橢圓M的中心，且．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點(diǎn)（0，t）的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓M交于兩點(diǎn)P、Q，設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）
∴，橢圓方程為 ①
又∵．，且BC過橢圓M的中心O（0，0），
∴．
又∵，
∴△AOC是以∠C為直角的等腰三角形，
易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
將（，）代入①式得b²=4
∴橢圓M的方程為
（2）當(dāng)直線l的斜率k=0，直線l的方程為y=t
則滿足題意的t的取值范圍為-2＜t＜2
當(dāng)直線l的斜率k≠0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+t
由
得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-12=0
∵直線l與橢圓M交于兩點(diǎn)P、Q，
∴△=（6kt）²-4（3k²+1）（3t²-12）＞0
即t²＜4+12k² ②
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ中點(diǎn)H（x₀，y₀），
則H的橫坐標(biāo)，
縱坐標(biāo)，
D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）
由，
得DH⊥PQ，k_DH•k_PQ=-1，
即，
即t=1+3k²． ③
∴k²＞0，∴t＞1． ④
由②③得0＜t＜4，
結(jié)合④得到1＜t＜4．
綜上所述，-2＜t＜4．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出a，然后根據(jù)求出b，綜合即可求出橢圓M的方程．
（2）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，與（1）中M的方程聯(lián)立，然后運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算，求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題．涉及直線與橢圓的位置關(guān)系，以及熟練運(yùn)用韋達(dá)定理的方法．屬于中檔題．