Question

已知圓C₁的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l₁：x-y-2=0相切，
（Ⅰ）求圓的標準方程；
（Ⅱ）設點A為圓上一動點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足，（其中m為非零常數(shù)），試求動點Q的軌跡方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結(jié)論下，當時，得到曲線C，與l₁垂直的直線l與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設圓的半徑為r，圓心到直線l₁距離為d，則，
圓C₁的方程為。  
（Ⅱ）設動點Q （x ，y ），，AN⊥x軸于N，，
由題意，，
所以，即：，
將代入，得。
（Ⅲ）時，曲線C的方程為，
設直線l的方程為y=-x+b，
設直線l與橢圓交點，
聯(lián)立方程，得，
因為，解得，
且，
∵點O到直線l的距離，
，
∴ ，
（當且僅當即時取到最大值），
∴△OBD面積的最大值為。