Question

已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離為d，已知|PF|=

2

2

d，且

2

3

≤d≤

3

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若

PF

•

OF

=

1

3

，求向量

OP

與

OF

的夾角；
（3）如圖所示，若點(diǎn)G滿足

GF

=2

FC

，點(diǎn)M滿足

MP

=3

.

PF

，且線段MG的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求△PGF的面積．

Answer 1

分析：（1）利用兩點(diǎn)的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式將已知幾何條件用坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)求出軌跡方程，注意求出定義域．
（2）求出三個(gè)向量的坐標(biāo)，先利用向量的坐標(biāo)形式數(shù)量積公式求出數(shù)量積，列出方程求出x，代入軌跡方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)向量的夾角．
（3）利用已知條件的向量關(guān)系求出G為左焦點(diǎn)，利用中垂線的性質(zhì)及橢圓的定義列出方程組，求出三角形PGF的三邊長(zhǎng)，利用勾股定理判斷出三角形的性質(zhì)，利用三角形的面積公式去求出三角形的面積．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則|PF|=

(x-1)2+y2

，d=|2-x|，
∴

(x-1)2+y2

|2-x|

=

2

2

化簡(jiǎn)得

x2

2

+y2=1
又

2

3

≤d=2-x≤

3

2

∴

1

2

≤x≤

4

3

即動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)
（2）∵

PF

=(1-x，-y)，

OF

=(1，0)，

OP

=(x，y)
∴

PF

•

OF

=1-x=

1

3

∴x=

2

3

，代入

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)得y=±

7

3

∴

OP

=(

2

3

，

7

3

)或(

2

3

，-

7

3

)∴cos＜

OP

，

OF

＞=

OP • OF

| OP || OF |

=

2 11

11

∴

OP

與

OF

的夾角為arccos

2 11

11

（3）由已知，得|

GF

|=2|

FG

|=2
∴G為左焦點(diǎn)
又∵

PG |= PM |=3 PF PG |+ PF |=2 2

∴

PF |= 2 2 PG |= 3 2 2

又∵|

GF

|=2
∴|

PF

|2+|

GF

|2=|

PG

|2，
∴△PGF為直角三角形．
∴S△PFG=

1

2

|

PF

||

GF

|=

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查求向量的夾角需要考慮利用向量的數(shù)量積、考查求軌跡方程時(shí)，在化簡(jiǎn)方程時(shí)要注意同解變形，求出方程的定義域、考查解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常考慮利用圓錐曲線的定義．