Question

函數y=f（x）對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表達式并用數學歸納法證明你的結論；（n∈N^*）
（Ⅲ）若f（1）≥1，求證：f(

1

2n

)＞0(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用賦值法，令x=y=0可求f（0）
（Ⅱ）由f（1）=1，可得

f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16

，猜想f（n）=n²，后用數學歸納法           
（Ⅲ）由f（1）≥1，可得f(1)=2f(

1

2

)+2×

1

2

×

1

2

≥1?f(

1

2

)≥

1

4

＞0，假設n=k（k∈N^*）時命題成立，即f(

1

2k

)≥

1

22k

＞0，利用遞推關系可證

解答：解：（Ⅰ）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0?f（0）=0（3分）
（Ⅱ）f（1）=1，

f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16

（2分）
猜想f（n）=n²，下用數學歸納法證明之．
當n=1時，f（1）=1滿足條件
假設當n=k時成立，即f（k）=k²
則當n=k+1時f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k²+1+2k=（k+1）²
從而可得當n=k+1時滿足條件
對任意的正整數n，都有 f（n）=n²                （5分）
（Ⅲ）f（1）≥1，則f(1)=2f(

1

2

)+2×

1

2

×

1

2

≥1?f(

1

2

)≥

1

4

＞0
假設n=k（k∈N^*）時命題成立，即f(

1

2k

)≥

1

22k

＞0，則f(

1

2k

)=2f(

1

2k+1

)+2×

1

2k+1

×

1

2k+1

≥

1

22k

?f(

1

2k+1

)≥

1

22(k+1)

，
由上知，則f(

1

2n

)＞0(n∈N*)．（4分）

點評：本題目主要考查了利用賦值法求解抽象函數的函數值，及數學歸納法在證明數學命題中的應用，及利用放縮法證明不等式等知識的綜合．