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在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求側面SBC與底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求異面直線SC與AB所成的角的大小（用反三角函數表示）.

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，  ∴SA⊥AB，SA⊥AC.

又AB∩AC=A，  ∴SA⊥平面ABC.

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC， 

由三垂線定理，得SC⊥BC.

    （Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，

∴∠SCA是側面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由BC=，SB=，得

SC==4.

在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cosSCA=.

∴∠SCA=60°，即側面SBC與底面ABC所成二面角的大小為60°.

（Ⅲ）解：過點C作CD∥BA，過點A作BC的平行線交CD于D，連結SD，則∠SCD是異面直線SC與AB所成的角.如圖.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

DC=AB=，

SA=，

SD==5.

在△SCD中，cosSCD=

∴SC與AB所成的角的大小為arccos.


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB與側面SAC均為邊長為1的等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱錐S-ABC的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB與側面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導三角形內切圓的半徑公式r=
2S
l
（其中l(wèi)是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內切圓的圓心O為頂點，將三角形ABC分割成三個小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教網C．
②設△ABC三邊長分別為a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，則r=
2S
l
．
類比上述方法，請給出四面體內切球半徑的計算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內切球的半徑．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=BC=AC=
2
SB=
2
SC，O為BC中點．
（1）求證：SO⊥平面ABC
（2）在線段AB上是否存在一點E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
15
5
？若存在，確定E點位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在三棱錐S-ABC中，側棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，側面△SAB，△SBC，△SAC的面積分別為1，
3
2
，3，則此三棱錐的外接球的表面積為（　�。�

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