已知橢圓如圖，＝1，直線L：＝1，P是L上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2.當點P在L上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

答案：
解析：

解：由題設知點Q不在原點，設P、R、Q的坐標分別為（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x、y不同時為零.

設OP與x軸正方向的夾角為α，則有

xP＝|OP|cosα，yP＝|OP|sinα

xR＝|OR|cosα，yR＝|OR|sinα

x＝|OQ|cosα，y＝|OQ|sinα

由上式及題設|OQ|·|OP|＝|OR|2，得

　　
　　 　　

④

　　 　　
 
　　
　　 　　

③

　　 　　
 
　　
　　 　　

②

　　 　　
 
　　
　　 　　

①

　　 　　
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由點P在直線L上，點R在橢圓上，得方程組

　　
　　 　　

⑥

　　 　　
 
　　
　　 　　

⑤

　　 　　
 

將①②③④代入⑤⑥，整理得點Q的軌跡方程為＝1（其中x、y不同時為零）

所以點Q的軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和，且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標原點.

 


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

已知橢圓如圖，＝1，直線L：＝1，P是L上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2.當點P在L上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

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已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)和橢圓C2：x2＋y2＝r2都過點(0，－1)，且橢圓C1的離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C1和C2的方程；

(Ⅱ)如圖，A，B分別為橢圓C1的左右頂點，P(x0，y0)為圓C2上的動點．過點P作圓C2的切線l，交橢圓C1與不同的兩點C，D，且l與x軸的交點為M，直線AC與直線DB的交點為N．

(i)求切線l的方程；

(ii)問點M，N的橫坐標之積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．

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如圖，已知橢圓C：＋＝1，(a＞b＞0)的左、右焦點為F1、F2，其上頂點為A．已知ΔF1AF2是邊長為2的正三角形．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過點Q(－4，0)任作一動直線l交橢圓C于M，N兩點，記＝λ·．若在線段MN上取一點R，使得＝－λ·，試判斷當直線l運動時，點R是否在某一定直線上運動？若在，請求出該定直線的方程；若不在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

19.如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1.

    (Ⅰ)求橢圓的方程；

    (Ⅱ)若點P為l上的動點，求∠F1PF2最大值.

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