Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為4．
（I）求拋物線的方程；
（II）若斜率為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在直線l的右上方，求證：△MAB的內(nèi)心在直線x=3上；
（III）在（II）中，若∠AMB=60°，求△MAB的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為4，可得，從而可求拋物線C的方程；
（II）求出，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可計(jì)算：=0，從而可得∠AMB的角平分線為x=3；
（III）利用及，即可求得△MAB的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)．
解答：（I）解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為4，
∴，∴p=2．
所以拋物線C：y²=4x．（3分）
（II）證明：由（I）得，設(shè)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，消去x得，所以，
又，，，，
所以=0，
因此∠AMB的角平分線為x=3，即△MAB的內(nèi)心在直線x=3上．（7分）
（III）解：由（II）得，直線MA，MB的傾斜角分別為60°，120°，所以．
直線，所以．．
同理，．
設(shè)△MAB的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231624661496922/SYS201311012316246614969024_DA/23.png">，
，
所以，
所以（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理及正確運(yùn)用三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．