Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F 是棱CD上的動點．
（Ⅰ）試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）當D₁E⊥平面AB₁F時，求二面角C₁-EF-A的余弦值以及BA₁與面C₁EF所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，再設出點F的坐標，利用線面垂直得到直線所在的向量與平面內的任何一個向量的數量積等于0，求出F點的坐標，進而能夠確定F的位置．
（2）根據正方體的結構特征首先看出平面的一個法向量，再設出另一個平面的法向量，根據法向量與平面上的向量數量積等于0，求另一個平面的一個法向量，再根據兩個向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角的余弦值求出答案即可．而線面角的求法是：首先計算出斜線所在的向量與平面的法向量的夾角，再根據此角與線面角的關系得到線面角．

解答：解：（I）由題意可得：以A為原點，分別以直線AB、AD、AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，且DF=x，則A₁（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，E(1，

1

2

，0)，F(x，1，0)
所以

D1E

=(1，-

1

2

，-1)，

AB1

=(1，0，1)，

AF

=(x，1，0)
由D1E⊥面AB1F?

D1E

⊥

AB1

且

D1E

⊥

AF

，
所以

D1E • AB1 =0 D1E • AF =0

，可解得x=

1

2

所以當點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F．
（II）當D₁E⊥平面AB₁F時，F是CD的中點，F(

1

2

，1，0)
由正方體的結構特征可得：平面AEF的一個法向量為

m

=(0，0，1)，
設平面C₁EF的一個法向量為

n

=（x，y，z），
在平面C₁EF中，

EC1

=(0，

1

2

，1)，

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，
所以

EC1 • n =0 EF • n  =0

，即

y=-2z x=y

，
所以取平面C₁EF的一個法向量為

n

=(2，2，-1)，
所以cos＜

m

，

n

＞=-

1

3

，
所以＜

m

，

n

＞=π-arccos

1

3

，
又因為當把

m

，

n

都移向這個二面角內一點時，

m

背向平面AEF，而

n

指向平面C₁EF，
所以二面角C₁-EF-A的大小為π-arccos

1

3

又因為

BA1

=(-1，0，1)，
所以cos＜

BA1

，

n

＞=-

2

2

，
所以＜

BA1

，

n

＞=135?，
∴BA₁與平面C₁EF所成的角的大小為45°．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用空間向量判定線面垂直與利用空間向量求空間角的方法，求二面角的平面角與線面的關鍵是正確求出平面的法向量，再利用向量之間的有關運算求出向量的夾角，進而把向量的夾角轉化為空間角．區(qū)分二面角與面面角是易錯點，本題較好的處理了這一點，利用法向量的指向確定出二面角是鈍角，此方法值得借鑒推廣