Question

（2011•桂林一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，F(xiàn)為BB₁上一點，BF=BC=2，F(xiàn)B₁=1，D為BC中點，E為線段AD上不同于點A、D的任意一點．
（Ⅰ）證明：EF⊥FC₁；
（Ⅱ）若AB=

2

，是否存在E滿足EF與平面FA₁C₁所成的角為arcsin

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6

？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得到AD⊥BC，取B₁C₁的中點D₁，連結(jié)DD₁，由三棱柱為直三棱柱得到D₁A₁，D₁B₁，D₁D所在直線兩兩垂直，以D₁為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出對應(yīng)點的坐標(biāo)，設(shè)出E的坐標(biāo)，由向量

EF

，

FC1

的數(shù)量積等于0證得答案；
（Ⅱ）設(shè)這樣的點E存在，利用AB=

2

求出A的坐標(biāo)，E點的橫坐標(biāo)有了條件限制，求出平面A₁FC₁的一個法向量，把向量

EF

的坐標(biāo)用含有E點橫坐標(biāo)的代數(shù)式表示，由EF與平面FA₁C₁所成的角為arcsin

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列式求出E點橫坐標(biāo)，與限制條件矛盾，從而說明假設(shè)錯誤．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC．
取B₁C₁的中點D₁，連結(jié)DD₁，∴DD₁∥BB₁，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴DD₁⊥面A₁B₁C₁．
以D₁為坐標(biāo)原點，D₁A₁，D₁B₁，D₁D所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則D₁（0，0，0），C₁（0，-1，0），F(xiàn)（0，1，1）．
設(shè)E（t，0，3）．
則

EF

=(-t，1，-2)，

FC1

=(0，-2，-1)．
∵

EF

•

FC1

=1×(-2)+(-2)×(-1)=0，∴EF⊥FC₁；
（Ⅱ）設(shè)這樣的點E存在．
∵AB=

2

，∴A1D1=AD=

AB2-BD2

=

2-1

=1．
則A₁（1，0，0），E（t，0，3）（0＜t＜1）．
∴

A1C1

=(-1，-1，0)，

A1F

=(-1，1，1)．
設(shè)平面A₁FC₁的一個法向量

n

=(x，y，z)．
由

n ⊥ A1C1 n ⊥ A1F

⇒

n • A1C1 =0 n • A1F =0

⇒

-x-y=0 -x+y+z=0

．
取y=-1，得x=1，z=2．
∴

n

=(1，-1，2)．
又

EF

=(-t，1，-2)，由EF與平面FA₁C₁所成的角為arcsin

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．
∴

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6

=

| n • EF |

| n |•| EF |

=

|-t-1-4|

6 • t2+5

，
整理得：2t²-5t=0，解得：t=0或t=

5

2

．與0＜t＜1矛盾．
∴適合條件的點E不存在．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量判定兩直線的垂直和求利用空間向量法求線面角，考查了計算能力，是中檔題．