Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：先將原函數(shù)化簡為y=Asin（ωx+φ）+b的形式
（1）根據(jù)周期等于2π除以ω可得答案，又根據(jù)函數(shù)圖象和性質可得在區(qū)間[0，

π

2

]上的最值．
（2）將x₀代入化簡后的函數(shù)解析式可得到sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，再根據(jù)x₀的范圍可求出cos（2x₀+

π

6

）的值，
最后由cos2x₀=cos（2x₀+

π

6

-

π

6

）可得答案．

解答：解：（1）由f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，得
f（x）=

3

（2sinxcosx）+（2cos²x）-1）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
因為f（x）=2sin（2x+

π

6

）在區(qū)間[0，

π

6

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上為減函數(shù)，
又f（0）=1，f（

π

6

）=2，f（

π

2

）=-1，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，最小值為-1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）
又因為f（x₀）=

6

5

，所以sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

由x₀∈[

π

4

，

π

2

]，得2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]
從而cos（2x₀+

π

6

）=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

．
所以
cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

．

點評：本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質、同角三角函數(shù)的基本關系、兩角差的余弦等基礎知識，考查基本運算能力．