已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式ln（1-x）（a∈R），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求f（x）在區(qū)間[1-e2，1-e]上的最值；
（2）若n≥2（n∈N*），試比較數(shù)學(xué)公式與e的大小，并證明你的結(jié)論．

解：（1），設(shè)h（x）=x+ln（1-x），x∈R，
則，即h（x）在（-∞，0]上遞增，故h（x）＜h（0）=a，
即對(duì)x∈[1-e2，1-e]，有h（x）＜a．
①當(dāng)a＞0，有f（x）＞0，f（x）在[1-e2，1-e]上遞增
故，．
②當(dāng)a＜0，有f（x）＜0，f（x）在[1-e2，1-e]上遞減，
故．
③當(dāng)a=0，有f（x）=0，f（x）min=f（x）max=0．
（2）若n≥2（n∈N*），猜想：．
證明如下：據(jù)（1）知當(dāng)x≤0時(shí)恒有h（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
故

故．
分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)，求出函數(shù)的增減區(qū)間，即可求最值；
（2）對(duì)a分情況討論，通過(guò)放縮不等式，使不等式變成已有的簡(jiǎn)單式子進(jìn)行證明．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求最值以及不等式的證明，不等式的合理放縮是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線(xiàn)l：y=kx-2與曲線(xiàn)y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線(xiàn)l∥AB，則稱(chēng)直線(xiàn)AB存在“伴侶切線(xiàn)”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱(chēng)直線(xiàn)AB存在“中值伴侶切線(xiàn)”．試問(wèn)：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線(xiàn)AB是否存在“中值伴侶切線(xiàn)”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（0，-1），并且與曲線(xiàn)y=f（x）相切，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線(xiàn)C，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l，使得l為曲線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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