Question

A是圓O：x²+y²=16上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的垂線，與y軸交于B點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

AP

=

1

3

PB

，則當(dāng)點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

9

+

y2

16

=1

；|

AP

|的最大值為

1

．

Answer 1

分析：確定A，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用A是圓O：x²+y²=16上的任意一點(diǎn)，即可求得點(diǎn)P的軌跡方程，根據(jù)橢圓、圓的對(duì)稱性，即可求得|

AP

|的最大值．

解答：解：設(shè)P（x，y），A（a，b），則
∵過點(diǎn)A作y軸的垂線，與y軸交于B點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

AP

=

1

3

PB

，
∵a=

4x

3

，b=y
∵A是圓O：x²+y²=16上的任意一點(diǎn)，
∴

16x2

9

+y2=16
∴

x2

9

+

y2

16

=1
∴橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，0），（0，±4）
∵A到圓心O的距離為4，
∴|

AP

|的最大值為4-3=1
故答案為：

x2

9

+

y2

16

=1，1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查代入法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．