Question

如圖：AB是⊙O的直徑，G是AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AG的垂線，交直線AC于點E，交直線 AD于點F，過點G作⊙O的切線，切點為H．
求證：
（I）C，D，E，F(xiàn)四點共圓；
（II）若GH=6，GE=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DB，利用AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所對的圓周角相等可得∠ACD=∠ABD，進而得到∠ACD=∠AFE即可證明四點共圓；
（2）由C，D，E，F(xiàn)四點共圓，利用共線定理可得GE•GF=GC•GD．由GH是⊙O的切線，利用切割線定理可得GH²=GC•GD，進而得到GH²=GE•GF．即可
解答：證明：（1）連接DB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，
又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE．
∴C，D，E，F(xiàn)四點共圓；
（2）∵C，D，E，F(xiàn)四點共圓，∴GE•GF=GC•GD．
∵GH是⊙O的切線，∴GH²=GC•GD，∴GH²=GE•GF．
又因為GH=6，GE=4，所以GF=9．
∴EF=GF-GE=9-4=5．
點評：熟練掌握圓的切線的性質、同弧所對的圓周角相等、四點共圓的判定方法、切割線定理、割線定理等是解題的關鍵．