Question

已知函數(shù)f（x）=（

x-1

x+1

）²（x＞1）．
（1）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（3）若不等式（1-

x

）f^-1（x）＞a（a-

x

）對x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用反函數(shù)求解三步驟：1、解：解出x 2、換：x、y換位 3、標(biāo)：標(biāo)出定義域．先由y=（

x-1

x+1

）²，表示出x，最后互換x，y即可；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義研究f^-1（x₁）與f^-1（x₂）的大小關(guān)系．最后得出其在（0，1）上的單調(diào)性即可；
（3）先將原恒成立問題轉(zhuǎn)化為（1+a）

x

+1-a²＞0對x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立問題，令t=

x

，最終轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)恒成立的問題解決即可．

解答：解：（1）由y=（

x-1

x+1

）²，得x=

1+ y

1- y

．
又y=（1-

2

x+1

）²，且x＞1，
∴0＜y＜1．
∴f^-1（x）=

1+ x

1- x

（0＜x＜1）．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則

x1

-

x2

＜0，1-

x1

＞0，1-

x2

＞0．
∴f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=

2( x1 - x2 )

(1- x1 )(1- x2 )

＜0，
即f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
（3）由題設(shè)有（1-

x

）

1+ x

1- x

＞a（a-

x

）．
∴1+

x

＞a²-a

x

，即（1+a）

x

+1-a²＞0對x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立．
顯然a≠-1．令t=

x

，
∵x∈[

1

16

，

1

4

]，∴t∈[

1

4

，

1

2

]．
則g（t）=（1+a）t+1-a²＞0對t∈[

1

4

，

1

2

]恒成立．
由于g（t）=（1+a）t+1-a²是關(guān)于t的一次函數(shù)，
∴g（

1

4

）＞0且g（

1

2

）＞0，
即

1 4 (1+a)+1-a2＞0 1 2 (1+a)+1-a2＞0

解得-1＜a＜

5

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、反函數(shù)等知識．屬于中檔題．恒成立問題多需要轉(zhuǎn)化，因?yàn)橹挥型ㄟ^轉(zhuǎn)化才能使恒成立問題等到簡化；轉(zhuǎn)化過程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用，同時轉(zhuǎn)化過程更提出了等價的意識和要求．