Question

在空間直角坐標(biāo)系中，解答下列各題：
（1）在x軸上求一點(diǎn)P，使它與點(diǎn)P₀（4，1，2）的距離為

30

；
（2）在xOy平面內(nèi)的直線x+y=1上確定一點(diǎn)M，使它到點(diǎn)N（6，5，1）的距離最�。�

Answer 1

分析：（1）設(shè)出x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)它與已知點(diǎn)之間的距離，寫出兩點(diǎn)之間的距離公式，得到關(guān)于未知數(shù)的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，兩個(gè)結(jié)果都合題意．
（2）先設(shè)點(diǎn)M（x，1-x，0），然后利用空間兩點(diǎn)的距離公式表示出距離，最后根據(jù)二次函數(shù)研究最值即可．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，0，0），
由題意|P0P|=

30

，
即

(x-4)2+12+22

=

30

，
∴（x-4）²=25．解得x=9或x=-1．
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（9，0，0）或（-1，0，0）．先設(shè)點(diǎn)M（x，1-x，0），然后利用空間兩點(diǎn)的距離公式表示出距離，最后根據(jù)二次函數(shù)研究最值即可．
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，1-x，0）
則|MN|=

(x-6)2+(1-x-5)2+(1-0)2

=

2(x-1)2+51

∴當(dāng)x=1時(shí)，|MN|min=

51

．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0，0）時(shí)到點(diǎn)N（6，5，1）的距離最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間兩點(diǎn)之間的距離公式，在兩點(diǎn)的坐標(biāo)，和兩點(diǎn)之間的距離，這三個(gè)量中，可以互相求解．（1）中涉及二次函數(shù)研究最值問題，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．