數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an+1=
13
Sn，n=1，2，3，…，求
（Ⅰ）a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）a2+a4+a6+…+a2n的值．
分析：（I）由題設條件得a2=
1
3
S1=
1
3
a1=
1
3
，a3=
1
3
S2=
1
3
(a1+a2)=
4
9
，a4=
1
3
S3=
1
3
(a1+a2+a3)=
16
27
，再由an+1-an=
1
3
(Sn-Sn-1)=
1
3
an（n≥2），得an+1=
4
3
an（n≥2），由此能夠求出數(shù)列{an}的通項公式．
（ II）由（ I）可知a2，a4，…，a2n是首項為
1
3
，公比為(
4
3
)2項數(shù)為n的等比數(shù)列，由此能求出a2+a4+a6+…+a2n的值．
解答：解：（I）由a1=1，an+1=
1
3
Sn，n=1，2，3，…，
得a2=
1
3
S1=
1
3
a1=
1
3
，a3=
1
3
S2=
1
3
(a1+a2)=
4
9
，a4=
1
3
S3=
1
3
(a1+a2+a3)=
16
27
，（3分）
由an+1-an=
1
3
(Sn-Sn-1)=
1
3
an（n≥2），得an+1=
4
3
an（n≥2），（6分）
又a2=
1
3
，所以an=
1
3
(
4
3
)n-2（n≥2），（8分）
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=
1n=1
1
3
(
4
3
)n-2		n≥2
；（9分）

（ II）由（ I）可知a2，a4，…，a2n是首項為
1
3
，公比為(
4
3
)2項數(shù)為n的等比數(shù)列，（11分）
∴a2+a4+a6+…+a2n=
1
3
•
1-(
4
3
)2n
1-(
4
3
)2
=
3
7
[(
4
3
)2n-1]（13分）
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等比數(shù)列{an}的公比q≠1，Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和，Tn表示數(shù)列{an}的前n項的乘積，Tn（k）表示{an}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），則數(shù)列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的通項an=
1
pn-q
，實數(shù)p，q滿足p＞q＞0且p＞1，sn為數(shù)列{an}的前n項和．
（1）求證：當n≥2時，pan＜an-1；
（2）求證sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求證sn＜
2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2an+bn，求數(shù)列{bn}的通項公式bn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•商丘二模）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下運算和結(jié)論：
①a24=
3
8
；
②數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比數(shù)列；
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n項和為Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整數(shù)k，使Sk＜10，Sk+1≥10，則ak=
5
7
．
其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
．（將你認為正確的結(jié)論序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么滿足條件的△ABC有兩解；
③設函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a2+b2=0；
④設直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號是
③
③
．

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