Question

如圖所示，有兩條相交成60°角的直線xx′，y′y，交點(diǎn)是O，甲、乙分別在ox，oy上，起初甲離O點(diǎn)3km，乙離O點(diǎn)1km，后來(lái)兩人同時(shí)用每小時(shí)4km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．
（1）起初兩人的距離是多少？
（2）用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離？
（3）什么時(shí)候兩人的距離最短？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB，在三角形OAB中，過(guò)A作出OB邊上的高AD，利用三角函數(shù)求出AB即可；
（2）設(shè)兩人的距離為ykm根據(jù)題意分兩種情況討論即A與O不重合，A和O重合，分別利用三角函數(shù)求出AB即可得到y(tǒng)的解析式；（3）利用二次函數(shù)求最小值的方法求出y的最小值即可．
解答：解：（1）連接AB，在三角形OAB中，過(guò)A作出OB邊上的高AD，
在直角三角形OAD中，OA=3，OB=1，
因?yàn)椤螦OB=60°
所以BD=1.5-1=0.5，AD=OAsin60°=，
則根據(jù)勾股定理得AB=km；
（2）①A在O的右邊，則t小時(shí)走的路為4t，和（1）計(jì)算方法一樣，
得AB=，且0≤t＜；
②A和O重合時(shí)，AB=4t+1，t=；
③A在O的左邊，AB=，
（3）因?yàn)锳B=且0≤t＜，設(shè)m=48t²-24t+，
求出m在[0，）的最小值為m（0）=，
所以AB的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型的能力，利用三角函數(shù)解直角三角形的能力，以及利用二次函數(shù)求最值的能力．