Question

高二下學期，學校計劃為同學們提供A．B．C．D四門方向不同的數學選修課，現(xiàn)在甲、乙、丙三位同學要從中任選一門學習（受條件限制，不允許多選，也不允許不選）．
（I）求3位同學中，選擇3門不同方向選修的概率；
（II）求恰有2門選修沒有被3位同學選中的概率；
（III）求3位同學中，選擇A選修課人數ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）3位同學任選一門有4³種選擇，從4門課中選3門課選修有A₄³種情形，根據概率公式可知結論；
（Ⅱ）3位同學任選一門有4³種選擇，從4門課中選3門課選修，恰有2門沒有選中有C₄²C₃²A₂²種情形，根據概率公式可知結論；  
（Ⅲ）ξ的取值為0.1.2.3，然后分別求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望的公式進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）設3位同學中，從4門課中選3門課選修為事件M，
則P(M)=

A 3 4

43

=

3

8

．                                 …（2分）
（Ⅱ）設3位同學中，從4門課中選3門課選修，恰有2門沒有選中為事件N，
則P(N)=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

43

=

9

16

．                     …（5分）
（Ⅲ）由題意，ξ的取值為0.1.2.3．
則P(ξ=0)=

33

43

=

27

64

，P(ξ=1)=

C 1 3 ×3×3

43

=

27

64

，
P(ξ=2)=

C 2 3 ×3

43

=

9

64

，P(ξ=3)=

1

43

=

1

64

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	…（10分） 3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．         …（12分）

點評：本題考查等可能事件的概率，排列數公式，組合數公式的應用，體現(xiàn)了分類討論的數學思想，是一道中檔題．