Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且在[0，1]上是增函數(shù)，那么y=

f(x2-3)+f(x+1)

的值域

1

．

Answer 1

分析：由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）是定義在[-1，1]上是增函數(shù)，結(jié)合已知函數(shù)的定義域可知

-1≤x2-3≤1 -1≤x+1≤1

，解出x的范圍后，進(jìn)而求出-1≤x²-3≤1，-1≤x+1≤1-

2

，從而可求

解答：解：∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且在[0，1]上是增函數(shù)
∴f（x）是定義在[-1，1]上是增函數(shù)
∴在y=

f(x2-3)+f(x+1)

中

-1≤x2-3≤1 -1≤x+1≤1

解可得，-2≤x≤-

2

此時(shí)有-1≤x²-3≤1，-1≤x+1≤1-

2

由函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)可得，f（-1）≤f（x²-3）≤f（1），f（-1）≤f（x+1）≤f（1）
兩不等式相加可得，2f(-1)≤f(x2-3)+f(x+1)≤f(1)+f(1-

2

)
∵y≥0
∴0≤y≤

f(1)+f(1- 2 )

故答案為：[0，

f(1)+f(1- 2 )

]

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性在求解函數(shù)的值域中的簡單應(yīng)用，解題中要注意函數(shù)的定義域 的應(yīng)用．