Question

已知點(diǎn)P（m，-1）（m∈R），過點(diǎn)P作拋物線C：y=x²的切線，切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）若過點(diǎn)P的切線的斜率為1，求m的值；
（2）證明x₁，m，x₂成等差數(shù)列；
（3）若以點(diǎn)P為圓心的圓E與直線AB相切，求圓E面積的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），∵y′=2x₀=1，∴，∵，
且，∴，解得；
（2）由y=x²可得，y′=2x．∵直線PA與曲線C相切，且過點(diǎn)P（m，-1），
∴，即x₁²-2mx₁-1=0，同理x₂²-2mx₂-1=0，
∴x₁，x₂為方程x²-2mx-1=0兩個(gè)根，因此x₁+x₂=2m，故x₁，m，x₂成等差數(shù)列．
（注：另解，由x₁²-2mx₁-1=0得，或，同理可得：，或，∵x₁＜x₂，∴，． 因此x₁+x₂=2m，故x₁，m，x₂成等差數(shù)列．
（3）由（2）可知，x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-1，則直線AB的斜率，∴直線AB的方程為：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2mx-y+1=0．
∵點(diǎn)P到直線AB的距離即為圓E的半徑，即，
設(shè)4m²+1=t，t≥1，則=，
當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，等號(hào)成立，即，時(shí)取等號(hào)．
故圓E面積的最小值S=πr²=3π．
分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出P的斜率等于1，求m的值；
（2）求出y=x²的導(dǎo)數(shù)，通過直線PA與曲線C相切，利用斜率相等，推出x₁+x₂=2m，即可證明x₁，m，x₂成等差數(shù)列；另解，利用方程直接求出方程的根，推出x₁+x₂=2m，得到x₁，m，x₂成等差數(shù)列．
（3）通過（2）求出AB的斜率，AB的方程，利用點(diǎn)P到直線AB的距離即為圓E的半徑，就是以點(diǎn)P為圓心的圓E與直線AB相切，求出r的表達(dá)式，利用換元法與基本不等式，求出r的最小值，即可求圓E面積的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法等知識(shí)，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想，換元法．