設橢圓的左、右頂點分別為、，離心率．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）求動點C的軌跡E的方程；

（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且 ，求直線MN的方程.

 

【答案】

（1）;(2) ;(3)或.

【解析】

試題分析：（1）要求橢圓的方程,就要知道a,b,由點A知道a=,由離心率可求得c,由a2=b2+c2進而求出b=1;(2)求動點的軌跡方程,首先設，，利用用C點表示P點坐標, ,代入橢圓方程,從而得到動點C的軌跡;(3)直線MN被橢圓截得的弦長,直線MN斜率分兩種情況,斜率存在和斜率不存在,斜率不存在是,直線MN方程為x=1, ,舍掉,斜率存在式,設直線MN的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程,利用根與系數(shù)關系和可以求出k.

試題解析：（1）由題意可得，，，

∴，

∴，

∴橢圓的方程為．

（2）設，，由題意得，即，

又，代入得，即,

即動點的軌跡的方程為．

（3） 若直線MN的斜率不存在，則方程為，所以,

∴直線MN的斜率存在，設為k，直線MN的方程為，

由，得,

∵，

∴,

設M ，則

∴，

即，

解得.

故直線MN的方程為或.

考點：1.橢圓;2.動點軌跡;3.求直線方程.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)短軸長為2，P（x0，y0）（x0≠±a）是橢圓上一點，A，B分別是橢圓的左、右頂點，直線PA，PB的斜率之積為-
1
4
．
（1）求橢圓的方程；
（2）當∠F1PF2為鈍角時，求P點橫坐標的取值范圍；
（3）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點，M、N是橢圓右準線l上的兩個點，若
F1M
•
F2N
=0，求MN的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x24
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C1交于不同的兩點A、B，且滿足|OA|2+|OB|2＞|AB|2，（其中O為原點），求l斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)，其右準線l與x軸交于點A，橢圓的上頂點為B，過它的右焦點F且垂直于長軸的直線交橢圓于點P，直線AB恰經(jīng)過線段FP的中點D．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設橢圓的左、右頂點分別是A1、A2，且=-3，求橢圓方程；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，設Q是橢圓右準線l上異于A的任意一點，直線QA1、QA2與橢圓的另一個交點分別為M、N，求證：直線MN與x軸交于定點．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分12分）

已知橢圓的焦點在軸上，中心在原點，離心率，直線和以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為、，點是橢圓上異于、的任意一點，設直線、的斜率分別為、，證明為定值；

（Ⅲ）設橢圓方程，、為長軸兩個端點， 為橢圓上異于、的點， 、分別為直線、的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得（        ）（只需直接寫出結(jié)果即可，不必寫出推理過程）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

.(2012年高考天津卷理科19)（本小題滿分14分）設橢圓的左、右頂點分別為，點P在橢圓上且異于

兩點，為坐標原點.

（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明：直線的斜率滿足.

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